2 次元 MPDATA

続いて 2 次元の場合 MPDATA スキームを導出する. 2 次元の場合も (7)式に $\psi _{i}^{n+1}$ を代入するところまでは 1 次元 の場合と同様に計算する.

$$\left.\DP{\psi }{t}\right\vert _{i,j}^{n} = -\left.\DP{}{x}(u\psi )\right\vert _{i,j}^{n} + \DP{}{x}\left.\left(\frac{1}{2}\vert u\vert\Delta x\DP{\psi }{x}\right) \right\vert _{i,j}^{n}$$

$$-\left.\DP{}{y}(v\psi )\right\vert _{i,j}^{n} + \DP{}{y}\left.\le... ..._{i,j}^{n} - \frac{1}{2}\left.\DP[2]{\psi }{t}\right\vert _{i,j}^{n} \Delta t .$$ (18)

右辺第 3 項の $t$ の 2 階微分を空間微分に置き換える. このときクロスタームが現れることに注意.

$$\begin{eqnarray*} \DP[2]{\psi }{t} &=& - \DP{}{x}\left [u \left( -\DP{}{x}(u... ... + \DP{}{y}\left[ v^{2} \DP{\psi }{y} + uv \DP{\psi }{x}\right] \end{eqnarray*}$$

これを代入して,

$$\left.\DP{\psi }{t}\right\vert _{i,j}^{n} = -\left.\DP{}{x}(u\psi )\right\vert _{i,j}^{n} -\left.\DP{}{y}(v\psi )\right\vert _{i,j}^{n}$$

$$+ \DP{}{x}\left.\left[\frac{1}{2}(\vert u\vert\Delta x-\Delta t u... ...P{\psi }{x} - \frac{1}{2}\Delta t uv\DP{\psi }{y}\right] \right\vert _{i,j}^{n}$$

$$+ \DP{}{y}\left.\left[\frac{1}{2}(\vert v\vert\Delta y-\Delta t v... ...{\psi }{y} - \frac{1}{2}\Delta t uv\DP{\psi }{x}\right] \right\vert _{i,j}^{n},$$ (19)

となる. 反拡散速度 $\tilde{u}, \tilde{v}$ は,

$$\tilde{u} \equiv \frac{1}{\psi } \left[\frac{1}{2}(\vert u\vert\Delta x-\Delta t u^{2}) \DP{\psi }{x} - \frac{1}{2}\Delta t uv \DP{\psi }{y}\right],$$ (20)

$$\tilde{v} \equiv \frac{1}{\psi } \left[\frac{1}{2}(\vert v\vert\Delta y-\Delta t v^{2}) \DP{\psi }{y} - \frac{1}{2}\Delta t uv \DP{\psi }{x}\right],$$ (21)

と与えられる. 実際に行なう手順は 1 次元のときと同様である.

1. 普通に上流差分を計算する.

   
   

   $$\psi _{i,j}^{*} = \psi _{i,j}^{n} - \{F_{x}(\psi _{i,j}^{n},\psi _{i+1,j}^{n},u_{i+... ...2},j}^{n}) - F_{x}(\psi _{i-1,j}^{n},\psi _{i,j}^{n},u_{i-\frac{1}{2},j}^{n})\}$$

   $$- \{F_{y}(\psi _{i,j}^{n},\psi _{i,j+1}^{n},v_{i,j+\frac{1}{2}}^{n}) - F_{y}(\psi _{i,j-1}^{n},\psi _{i,j}^{n},v_{i,j-\frac{1}{2}}^{n})\}.$$ (22)

   
   

2. $\tilde{u}, \tilde{u}$ を求め, それを用いて上流差分を計算する.

   
   

   $$\psi _{i,j}^{n+1} = \psi _{i,j}^{*} - \{F_{x}(\psi _{i,j}^{*},\psi _{i+1,j}^{*},\tild... ...2},j}) - F_{x}(\psi _{i-1,j}^{*},\psi _{i,j}^{*},\tilde{u}_{i-\frac{1}{2},j})\}$$

   $$-\{F_{y}(\psi _{i,j}^{*},\psi _{i,j+1}^{*}, \tilde{v}_{i,j+\frac{1}{2}}) - F_{y}(\psi _{i,j-1}^{*},\psi _{i,j}^{*},\tilde{v}_{i,j-\frac{1}{2}})\}.$$ (23)

   
   

   ただし,

   
   

   $$\tilde{u}_{i+\frac{1}{2},j} = \frac{1}{\psi _{i+\frac{1}{2},j}^{*}} \left[\frac{1}{2}(\vert u_{... ...c{1}{2},j}^{n})^{2}) \frac{\psi _{i+1,j}^{*}-\psi _{i,j}^{*}}{\Delta x} \right.$$

   $$- \left.\frac{1}{2}\Delta t u_{i+\frac{1}{2},j}^{n} v_{i+\frac{1}... ...j+\frac{1}{2}}^{*}- \psi _{i+\frac{1}{2},j-\frac{1}{2}}^{*}} {\Delta y}\right],$$ (24)

   $$\tilde{v}_{i,j+\frac{1}{2}} = \frac{1}{\psi _{i,j+\frac{1}{2}}^{*}} \left[\frac{1}{2}(\vert v_{... ...rac{1}{2}}^{n})^{2}) \frac{\psi _{i,j+1}^{*}-\psi _{i,j}^{*}}{\Delta y} \right.$$

   $$- \left.\frac{1}{2}\Delta t u_{i,j+\frac{1}{2}}^{n} v_{i,j+\frac{... ...j+\frac{1}{2}}^{*} -\psi _{i-\frac{1}{2},j+\frac{1}{2}}^{*}} {\Delta x}\right].$$ (25)

   
   

なお(24),(25)式において,

$$\psi _{i+\frac{1}{2},j}^{*} = \frac{1}{8} \left( \psi _{i+1,j+1}^{*} + \psi _{i,j+1}^{*} + 2\ps... ...+1,j}^{*} + 2\psi _{i,j}^{*} + \psi _{i+1,j-1}^{*} + \psi _{i,j-1}^{*} \right),$$ (26)

$$\psi _{i+\frac{1}{2},j+\frac{1}{2}}^{*} = \frac{1}{4} \left( \psi _{i+1,j+1}^{*} + \psi _{i,j+1}^{*} + \psi _{i+1,j}^{*} + \psi _{i,j}^{*} \right),$$ (27)

$$u_{i,j+\frac{1}{2}}^{n} = \frac{1}{4} \left( u_{i+\frac{1}{2},j+1}^{n} + u_{i-\frac{1}{2},j+1}^{n} + u_{i+\frac{1}{2},j}^{n} + u_{i-\frac{1}{2},j}^{n} \right),$$ (28)

などとする.