上流差分スキームの誤差

上流差分スキーム(3)式の誤差を評価する. まず (3)式を以下のように変形する.

$$\DP{psi }{t} = -\frac{1}{\Delta x}\left(u_{i+\frac{1}{2}}^{n}\frac{ \psi _{i}^{n... ...^{n}}{2} - u_{i-\frac{1}{2}}^{n}\frac{ \psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n}}{2}\right)$$

$$-\frac{1}{2\Delta x}\left[\vert u_{i+\frac{1}{2}}^{n}\vert (\psi ... ...n}) - \vert u_{i-\frac{1}{2}}^{n}\vert (\psi _{i-1}^{n} - \psi _{i}^{n})\right]$$ (5)

ここで $u_{i+\frac{1}{2}}^{n}, u_{i-\frac{1}{2}}^{n}, \psi _ {i+1}^{n}, \psi _{i-1}^{n}$ を $u_{i}^{n}, \psi _{i}^{n}$ の周り のテーラー展開で表現する. $\vert u_{i+\frac{1}{2}}^{n}\vert$ 等は $\vert u\vert _{i+\frac{1}{2}}^{n}$ と考えて $\vert u\vert _{i}^{n}$ の周りの展開として 表現する.

$$\begin{eqnarray*} u_{i+\frac{1}{2}}^{n}&=&u_{i}^{n}+\left.\DP{u}{x}\right\vert ... ...{x}\right\vert _{i}^{n} (\Delta x)^{2} + \cdot \cdot \cdot . \end{eqnarray*}$$

それぞれの 2 次までをとって(5)式の右辺へ代入する. 右辺の$( \; )$ 内は

$$\begin{eqnarray*} && -\frac{1}{\Delta x}\left[\left(u_{i}^{n}\psi _{i}^{n} + ... ...\left.\DP{}{x}(u\psi )\right\vert _{i}^{n} + O(\Delta x^{2}), \end{eqnarray*}$$

となる. 右辺の $[ \; ]$ 内は整理すると

$$\begin{eqnarray*} && -\frac{1}{2\Delta x}\left[\left( -\vert u_{i}\vert\left.\... ... x \DP{\psi }{x}\right)\right\vert _{i}^{n} + O(\Delta x^{2}). \end{eqnarray*}$$

よって(5)式は,

$$\DP{\psi }{t} = -\left.\DP{}{x}(u\psi )\right\vert _{i}^{n... ...\DP{\psi }{x}\right) \right\vert _{i}^{n} +O(\Delta x^{2}) .$$ (6)

となる. すなわち 1 次の正確度を持つ上流差分スキームは 移流拡散方程式

$$\DP{\psi }{t} = -\DP{}{x}(u\psi ) + \DP{}{x}\left(K\DP{\psi }{x}\right) , \; K =\frac{1}{2}\vert u\vert\Delta x ,$$

を 2 次の正確度で近似したものに等しいことがわかる.