速度場が発散場の場合

速度場が発散場の場合, 例えば 2 次元では(18)式の右辺第 5 項 の展開を以下のようにする.

$$\begin{eqnarray*} \DP[2]{\psi }{t} &=& - \DP{}{x}\left [u \left( -\DP{}{x}(u... ... \DP{}{y}\left[ v\psi \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)\right] \end{eqnarray*}$$

よって(19)式は以下のように変更される.

$$\left.\DP{\psi }{t}\right\vert _{i,j}^{n} = -\left.\DP{}{x}(u\psi )\right\vert _{i,j}^{n} -\left.\DP{}{y}(v\psi )\right\vert _{i,j}^{n}$$

$$+ \DP{}{x}\left.\left[\frac{1}{2}(\vert u\vert\Delta x-\Delta t u... ...P{\psi }{x} - \frac{1}{2}\Delta t uv\DP{\psi }{y}\right] \right\vert _{i,j}^{n}$$

$$+ \DP{}{y}\left.\left[\frac{1}{2}(\vert v\vert\Delta y-\Delta t v... ...DP{\psi }{y} - \frac{1}{2}\Delta tuv\DP{\psi }{x}\right] \right\vert _{i,j}^{n}$$

$$- \frac{1}{2}\left.\DP{}{x}\left[\Delta t u\psi \left(\DP{u}{x} +... ...[\Delta t v\psi \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right)\right]\right\vert^{n}_{i,j}.$$ (37)

反拡散速度は

$$\tilde{u} \equiv \frac{1}{\psi } \left[\frac{1}{2}(\vert u\vert\Delta x-\Delta t u... ...\DP{\psi }{y}\right] - \frac{1}{2}\Delta t u\left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right),$$ (38)

$$\tilde{v} \equiv \frac{1}{\psi } \left[\frac{1}{2}(\vert v\vert\Delta y-\Delta t v... ... \DP{\psi }{x}\right] - \frac{1}{2}\Delta tv\left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right),$$ (39)

となる. N 次元では

$$\left.\DP{\psi }{t}\right\vert _{\Dvect{i}}^{n} = - \sum _{I=1}^{N}\left.\DP{}{x^{I}}(u^{I}\psi ) \right\vert _{\Dvect{i}}^{n}$$

$$+ \sum _{I=1}^{N}\DP{}{x^{I}}\left.\left[\frac{1}{2} (\vert u^{I}... ...\frac{1}{2}\Delta t u^{I}u^{J} \DP{\psi }{y}\right]\right\vert _{\Dvect{i}}^{n}$$

$$- \sum _{I=1}^{N}\DP{}{x^{I}}\left. \left[\left( \frac{1}{2}\Delt... ...um _{J=1}^{N}\DP{u^{J}}{x^{J}}\right) \psi \right]\right\vert _{\Dvect{i}}^{n},$$ (40)

となって, 反拡散速度は

$$u_{d,\Dvect{i}}^{I} = \left. 0.5[\vert u^{I}\Delta x^{I}-\... ...{I}\sum _{J=1}^{N}\DP{u^{J}}{x^{J}} \right\vert _{\Dvect{i}}$$ (41)

と表される.